В русском языке слово «арифметике» относится к следующим частям речи: имя существительное. Начальная форма - арифметик, арифметика. Правила русского языка предусматривают 3 варианта морфологического разбора слова:
1имя существительное: неодушевлённое, женский род единственное число, дательный падеж
2имя существительное: неодушевлённое, женский род единственное число, предложный падеж
3имя существительное: одушевлённое, мужской род единственное число, предложный падеж