В русском языке слово «бае» относится к следующим частям речи: имя существительное. Начальная форма - бай. Правила русского языка предусматривают 2 варианта морфологического разбора слова:
1имя существительное: одушевлённое, мужской род единственное число, предложный падеж
2имя существительное: одушевлённое, мужской род, singularia tantum, фамилия единственное число, предложный падеж