В русском языке слово «богатея» относится к следующим частям речи: деепричастие, имя существительное. Начальная форма - богатеть, богатей. Правила русского языка предусматривают 3 варианта морфологического разбора слова:
1имя существительное: одушевлённое, мужской род единственное число, родительный падеж
2имя существительное: одушевлённое, мужской род единственное число, винительный падеж
3деепричастие: несовершенный вид, непереходный настоящее время