В русском языке слово «другому» относится к следующим частям речи: имя прилагательное (полное). Начальная форма - другой. Правила русского языка предусматривают 2 варианта морфологического разбора слова:
1имя прилагательное (полное): местоименное, возможна субстантивация средний род, единственное число, дательный падеж
2имя прилагательное (полное): местоименное, возможна субстантивация мужской род, единственное число, дательный падеж