В русском языке слово «заснувшими» относится к следующим частям речи: причастие (полное). Начальная форма - заснуть. Правила русского языка предусматривают 1 вариант морфологического разбора слова:
1причастие (полное): совершенный вид, непереходный, прошедшее время, действительный залог множественное число, творительный падеж