В русском языке слово «баю» относится к следующим частям речи: глагол (личная форма), имя существительное. Начальная форма - бай, баять. Правила русского языка предусматривают 3 варианта морфологического разбора слова:
1имя существительное: одушевлённое, мужской род единственное число, дательный падеж
2имя существительное: одушевлённое, мужской род, singularia tantum, фамилия единственное число, дательный падеж
3глагол (личная форма): несовершенный вид, переходный единственное число, 1 лицо, настоящее время, изъявительное наклонение